平均发展速度

1.什么是平均发展速度

平均发展速度反映现象逐期发展速度的平均程度，是各个时期环比发展速度的几何平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。

平均发展速度是一个十分重要并得到广泛运用的动态分析指标，经常用来对比不同发展阶段的不同发展速度，还用来对比不同国家或地区经济发展的不同情况。

平均发展速度的计算有两种方法：几何平均法（水平法）和代数平均法（累计法或方程式法）。这两种方法计算结果经常不一致，有时甚至会得出相反的结论。

2.平均发展速度的计算公式

　　设各个时期的发展水平为

　　 a₀ ， a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，a_n

　　平均发展速度的计算公式为

　　 $bar{v}=sqrt[n]{frac{a_1}{a_0}timesfrac{a_2}{a_1}timesldotstimesfrac{a_n}{a_{n_1}}}$

　　或者

　　平均发展速度 $bar{v}=sqrt[n]{v_1times v_2timesldotstimes v_n}$

3.平均发展速度两种计算方法的比较分析及选择

　一、两种计算方法的比较分析

　　几何平均法和代数平均法的区别主要有：

　　（一）、依据的基础数据及计算公式不同。几何平均法的理论基础是：平均发展速度是总速度的平均，但现象发展的总速度，不等于各期发展速度之和，而等于各期环比发展速度的连乘积。而一段时期的定基发展速度即为现象的总速度。因而几何平均法直接用各期环比发展速度的连乘积等于定基发展速度的关系，得出平均发展速度的计算公式：

　　 $bar{x}=sqrt[n]{x_1times x_2times ldots x_n}$

　　或　 $bar{x}=sqrt[n]{frac{a_1}{a_0}timesfrac{a_2}{a_1}timesldotstimesfrac{a_n}{a_{n-1}}}=sqrt[n]{frac{a_n}{a_0}}$

　　式中： $bar{x}$ 表示平均发展速度；x_i(i=0,1,2…n)表示各期环比发展速度；n表示环比发展速度的项数；a_i (i=0,1,2…n)表示各期发展水平。

　　代数平均法是基于时间数列各期发展水平之和等于累计发展水平，以累计发展水平与基期水平之比为基础来计算的。计算公式为：

　　 $bar{x}+bar{x}^2+bar{x}^3+ldots+bar{x}^n=frac{sum a}{a_0}$

　　这个方程式的正根，即为平均发展速度。

　　式中： $bar{x}$ 表示平均发展速度；Σa表示累计发展水平；a₀表示基期水平。

　　（二）、侧重点不同。几何平均法侧重于考察最末一期的发展水平，按这种方法所确定的平均发展速度推算的最末一期发展水平，等于最末一期的实际水平；而推算的最末一期的定基发展速度，和实际数据的定基发展速度一致。代数平均法则侧重于考察全期各期的发展水平之和，按这种方法所确定的平均发展速度推算的全期各期发展水平的总和，与全期各期实际数据总和一致；而推算的各期定基发展速度的总和，与实际数据的定基发展速度的总和也是一致的。

　　（三）、影响因素不同。用几何平均法计算，其平均发展速度只受最末水平（a_n）和最初水平（a₀）的影响，不受中间水平的影响。用代数平均法计算，其平均发展速度受时间数列中所有发展水平的影响，即既受最末水平（a_n）和最初水平（a₀）的影响，也受中间水平的影响。

　　（四）、计算结果不同，有时甚至会得出相反的结论。

　　例如，甲地区“十五”时期粮食产量资料如表１所示：

　　表１　甲地区“十五”时期粮食产量　单位：万吨

年　份	2000（基期）	2001	2002	2003	2004	2005
粮食产量（万吨）	100	106	104	108	110	92

　　按几何平均法计算“十五”时期的平均发展速度为：

　　 $bar{x}=sqrt[n]{frac{a_n}{a_0}}=sqrt[5]{frac{92}{100}}=98.35%$

　　　按代数平均法计算“十五”时期的平均发展速度为：

　　 $bar{x}+bar{x}^2+bar{x}^3+bar{x}^4+bar{x}^5=frac{sum a}{a_0}=frac{106+104+108+100+92}{100}=5.2$

　查“平均增长速度累计法查对表—递增速度”得 $bar{x}$ =101.3% 以上计算结果表明，同样的资料，采用不同的计算方法，会得出相反的结论。甲地区按几何平均法计算，平均发展速度降低率为1.65%；而按代数平均法计算，平均发展速度增长率为1.3%。

　　二、两种计算方法的选择

　　当两种计算方法的结果出现相反的结论时，最好选择代数平均法。理由如下：

　　（一）、从经济意义上考虑。在基期水平既定的情况下，代数平均法的计算结果取决于累计发展水平（Σa），在观察长时间内经济指标的变动时，累计发展水平可以说明社会经济的总成果，有现实的经济意义。而几何平均法的计算结果则取决于最末水平（a_n），当最末水平由于社会因素、自然因素等出现偶然波动时，用几何平均法计算的平均发展速度就会失真，没有实际经济意义。

　　（二）、从公式本身考虑。代数平均法按时间数列全期发展水平之和与基期水平对比去计算，计算结果准确性高。而几何平均法只按时间数列最末水平与最初水平对比去计算，中间各期的水平尽管也是组成时间数列的重要部分，却不参与计算，因而平均发展速度的计算结果准确性差。

　　（三）、从平均发展速度的代表性考虑。

　　虽然用几何平均法和代数平均法求得的平均发展速度均是各期环比发展速度的代表值，但代表性大小却不相同。现以上述甲地区的资料为例，计算推算值和实际值的离差及估计标准误，见表２：

　　表２　甲地区粮食产量的推算水平及离差计算表　　单位：万吨

年份	实际水平	按几何平均法计算		按代数平均法计算
年份	实际水平	推算的发展水平	实际水平与推算水平离差	推算的发展水平	实际水平与推算水平离差
2000(基期)	100	100	0	100	0
2001	106	98.4	7.6	101.3	4.7
2002	104	96.7	7.3	102.6	1.4
2003	108	95.1	12.9	104	4
2004	110	93.6	16.4	105.3	4.7
2005	92	92	0	106.7	－14.7

　　几何平均法下的离差和=Σ(y－yc)=7.6+7.3+12.9+16.4+0=44.2(万吨)

　　几何平均法下的估计标准差 $s=sqrt{frac{(y-y_c)^2}{n}}=sqrt{frac{7.6^2+7.3^2+12.9^2+16.4^2+0^2}{5}}$ =10.45(万吨)

　　代数平均法下的离差和=Σ(y－yc)= 4.7+1.4+4+4.7－14.7=0.1(万吨)

　　代数平均法下的估计标准差 $S=sqrt{frac{(y-y_c)^2}{n}}=sqrt{frac{4.7^2+1.4^2+4^2+4.7^2+(-14.7)^2}{5}}=7.46$ (万吨)

　　从上述计算可知，用代数平均法法推算的各期发展水平与实际水平的离差之和接近于０，这很符合算术平均数的性质。上述计算结果表明，无论是推算水平与实际水平的离差之和，还是估计标准误差，用代数平均法计算都比用几何平均法计算要小，这说明用代数平均法计算的平均发展速度代表性高。

　　（四）、从适用范围考虑。

　　用几何平均法计算的平均发展速度只适用于环比发展速度大致相等的时间数列。因为在测定时间数列长期趋势时，若各时期环比发展速度大致相等，应配合指数曲线方程（y = ab^x），这一方程中的y相当于最末水平（a_n），a相当于最初水平（a₀），b相当于平均发展速度（ $bar{x}$ ），x相当于时间（n），即 $a_n=a_0dot bar{x}^n$ 。但当时间数列的逐期增长量大致相等或二级增长量大致相等时，用几何平均法计算平均发展速度就不合适。因为时间数列的逐期增长量大致相等，应配合直线方程，二级增长量大致相等时，应配合抛物线方程。而按代数平均法计算的平均发展速度是基于时间数列全期的发展水平，因此，适用于各种类型的时间数列。

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2.平均发展速度的计算公式

3.平均发展速度两种计算方法的比较分析及选择